Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F₁，F₂分别为其左右焦点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，M是椭圆上一点，∠F₁MF₂的最大值为$\frac{2}{3}$π
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ
（i）求证：$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}$为定值；
（ii）求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出a=2，b=1，得椭圆方程．
（Ⅱ）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l_OP：y=kx，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）联立直线与椭圆方程，求出PQ坐标，然后求解$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}$为定值．当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，验证即可．ii） 当OP，OQ斜率都存在且不为0时，表示△OPQ面积，利用基本不等式求解面积的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F₁，F₂分别为其左右焦点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，M是椭圆上一点，∠F₁MF₂的最大值为$\frac{2}{3}$π，可得c=$\sqrt{3}$，2b=a，a²=b²+c²，
得a=2，b=1，得椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）

（Ⅱ）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l_OP：y=kx，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y得${x_1}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}^2={k^2}{x_1}^2=\frac{{4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$
同理得${x_2}^2=\frac{{4{k^2}}}{{4+{k^2}}}$，${y_2}^2=\frac{1}{k^2}{x_2}^2=\frac{4}{{{k^2}+4}}$
故$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{{{x_1}^2+{y_1}^2}}+\frac{1}{{{x_2}^2+{y_2}^2}}=\frac{5}{4}$…（7分）
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=\frac{5}{4}$
综上得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{5}{4}$，得证．                             …（8分）
（未讨论斜率这扣1分）
ii） 当OP，OQ斜率都存在且不为0时，${S_{OPQ}}=\frac{1}{2}\sqrt{O{P^2}•O{Q^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{4{k^2}+4}}{{1+4{k^2}}}•\frac{{4{k^2}+4}}{{{k^2}+4}}}$
=$2\sqrt{\frac{1}{{4+\frac{{9{k^2}}}{{{k^4}+2{k^2}+1}}}}}$
又$0＜\frac{{9{k^2}}}{{{k^4}+2{k^2}+1}}≤\frac{{9{k^2}}}{{2\sqrt{{k^4}•1}+2{k^2}}}=\frac{9}{4}$
所以$\frac{4}{5}≤{S_{△OPQ}}＜1$…..（11分）
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S_△OPQ=1
综上得$\frac{4}{5}≤{S_{△OPQ}}≤1$…（12分）
（未讨论斜率这扣1分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．