题目内容

7．已知正数x，y满足x+2y-2xy=0，那么2x+y的最小值是$\frac{9}{2}$．

分析 根据题意，将x+2y-2xy=0变形可得$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$=1，进而有2x+y=（2x+y）（$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，结合基本不等式分析可得答案．

解答 解：根据题意，若x+2y-2xy=0，则有$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$=1，
则2x+y=（2x+y）（$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=$\frac{9}{2}$，
即2x+y的最小值是$\frac{9}{2}$，当且仅当x=y=$\frac{3}{2}$时取等号；
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是求出$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$=1．

练习册系列答案
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17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2$\sqrt{3}$，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为$\frac{2}{3}$π
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ
（i）求证：$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}$为定值；
（ii）求△OPQ面积的取值范围．
18．已知集合A={1，3}，$B=\{x|0＜lg（x+1）＜\frac{1}{2}，x∈Z\}$，则A∪B=（　　）
A．{1，3}B．{1，2，3}C．{1，3，4}D．{1，2，3，4}
15．“a＜-1”是“直线ax+y-3=0的倾斜角大于$\frac{π}{4}$”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x-y-2=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求线段AB的长
（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．
12．已知集合$A=\left\{{x\left|{\frac{x-2}{x+1}≥0}\right.}\right\}$，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．
19．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O-xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点$D（{0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$．
（1）求D，C两点在球O上的球面距离；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．
16．给出关于双曲线的三个命题：
①双曲线$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的渐近线方程是y=±$\frac{2}{3}$x；
②若点（2，3）在焦距为4的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，则此双曲线的离心率e=2；
③若点F，B分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上．
其中正确命题的个数是（　　）
A．0B．1C．2D．3
11．已知函数$f（x）=aln（x+1），g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-ax$，h（x）=ex-1．
（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）-g（x）的零点个数；
（Ⅲ）求证：$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$（参考数据：ln1.1≈0.0953）．

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