Question

19．数列{a_n}的通项公式a_n=2n，若数列{b_n}满足：${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$（n∈N*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用约束条件写出${a_{n+1}}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}$，推出${b_{n+1}}=2（{{3^{n+1}}+1}）$，即可得到数列{b_n}的通项公式；
（2）化简数列${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$（n∈N*），得到T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），令${H_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n×{3^n}$，然后通过错位相减法求和求解即可．

解答 （1）${b_n}=2（{{3^n}+1}）$（2）${T_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}+\frac{{n（{n+1}）}}{2}$
解：（1）${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}（{n≥1}）$，①
${a_{n+1}}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}$，②
②-①得$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}+1}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$，${b_{n+1}}=2（{{3^{n+1}}+1}）$，
而b₁=8，故${b_n}=2（{{3^n}+1}）$（n∈N*）．
（2）∵${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}=n（{{3^n}+1}）=n•{3^n}+n$，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），
令${H_n}=1×3+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n×{3^n}$，③
则$3{H_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n×{3^{n+1}}$，④
③-④得，$-2{H_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n×{3^{n+1}}$=$\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n×{3^{n+1}}$，${H_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}$，
∴数列{c_n}的前n项和${T_n}=\frac{{（{2n-1}）•{3^{n+1}}+3}}{4}+\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．

点评 本题考查数列的应用，数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力．