Question

3．已知函数f（x）=axe^x-（a-1）（x+1）²（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（2）先求导，再令f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*），根据ae^x-2a+2=0（*）无解即可求出a的范围．

解答 解：（1）由题知，f（x）=-xe^x+2（x+1）²，
f'（x）=-e^x-xe^x+4（x+1）=（x+1）（4-e^x），
由f'（x）=0得到x=-1或x=ln4，
而当x＜ln4时，（4-e^x）＞0，x＞ln4时，（4-e^x）＜0，列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln4）	ln4	（ln4，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极大值	↗	极小值	↘

所以，此时f（x）的减区间为（-∞，-1），（ln4，+∞），增区间为（-1，ln4）；
（2）f'（x）=ae^x+axe^x-2（a-1）（x+1）=（x+1）（ae^x-2a+2），
由f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x的方程（*）必无解，
①当a=0时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0时，由（*）得e^x=$\frac{2a-2}{a}$，故由 $\frac{2a-2}{a}$≤0得0＜a≤1，
由于这两种情况都有，当x＜-1时，f'（x）＜0，于是f（x）为减函数，
当x＞-1时，f'（x）＞0，于是f（x）为增函数，
∴仅x=-1为f（x）的极值点，
综上可得a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和关系和一级函数的极值的问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题．