Question

已知点P是抛物线x²=4y上一个动点，过点作圆x²+（y-4）²=1的两条切线，切点分别为M，N，则线段MN长度的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：圆x²+（y-4）²=1的圆心C（0，4），半径r=1．设P(x0，

x 2 0

4

)，可得|PC|=

x 2 0 +( x 2 0 4 -4)2

=

x 4 0 16 - x 2 0 +16

．
利用勾股定理可得|PM|=

|PC|2-1

=

x 2 0 16 - x 2 0 +15

，利用三角形的面积计算公式可得|MN|=2×

|PM||MC|

|PC|

，再利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：圆x²+（y-4）²=1的圆心C（0，4），半径r=1．
设P(x0，

x 2 0

4

)，
∵|PC|=

x 2 0 +( x 2 0 4 -4)2

=

x 4 0 16 - x 2 0 +16

．
则|PM|=

|PC|2-1

=

x 2 0 16 - x 2 0 +15

，
∴|MN|=2×

|PM||MC|

|PC|

=2

1- 1 x 4 0 16 - x 2 0 +16

=2

1- 1 1 16 ( x 2 0 -8)2+12

，
当

x

2 0

=8时，|MN|取得最小值=

33

3

．
故答案为：

33

3

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．