Question

已知函数f（x）的值满足f（x）＞0（当x≠0时），对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．
（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤

3	9

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），从而得到函数是偶函数；
（2）设0＜x₁＜x₂，∴0＜

x1

x2

＜1，f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)•f（x₂），从而f（x₁）＜f（x₂），进而求出函数的单调性；
（3）由题意得9=[f（3）]³，结合f（a+1）≤

3	9

，得到f（a+1）≤f（3），从而得到答案．

解答： 解：（1）令x=y=-1，f（1）=1，
令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），f（x）为偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：设0＜x₁＜x₂，∴0＜

x1

x2

＜1，
f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)•f（x₂），
△y=f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(

x1

x2

)f(x2)=f(x2)(1-f(

x1

x2

))，
∵0＜f(

x1

x2

)＜1，f(x2)＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（27）=9，
又f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]³，
∴9=[f（3）]³，∴f（3）=

3	9

，
∵f（a+1）≤

3	9

，∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，a+1，3都大于0，∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，故0≤a≤2．

点评：本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，是一道中档题．