Question

14．已知sin（π-α）-cos（π+α）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}，（{\frac{π}{2}＜α＜π}）$．求下列各式的值：
（1）sinα-cosα；
（2）${sin^2}（{\frac{π}{2}-α}）-{cos^2}（{\frac{π}{2}+α}）$．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式化简等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可得2sinαcosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinα-cosα的值；
（2）先用诱导公式整理后，进而展开，利用（1）中的结论求得答案．

解答 解：（1）由 sin（π-α）-cos（π+α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
得sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．①
将①式两边平方，得1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$．
∴2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$．
又$\frac{π}{2}＜α＜π$，
∴sinα＞0，cosα＜0．
∴sinα-cosα＞0．
∴（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=$\frac{2}{9}+\frac{14}{9}$=$\frac{16}{9}$．
∴sinα-cosα=$\frac{4}{3}$；
（2）${sin^2}（{\frac{π}{2}-α}）-{cos^2}（{\frac{π}{2}+α}）$=cos²α-sin²α
=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查函数值的求法，注意同角三角函数关系式、完全平方式的合理运用，属于中档题．