Question

19．设P为△ABC所在平面内一点，且$3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，则△PAC的面积与△ABC的面积之比为（　　）

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{4}{7}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 分别延长 PA、PB 至A₁、B₁，使PA₁=3PA，PB₁=3PB，
利用$\overrightarrow{{PA}_{1}}$+$\overrightarrow{{PB}_{1}}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$得点P是三角形 A₁B₁C的重心，
设△A₁B₁C的面积为 3S，表示出S_△PAC、S_△PBC和S_△PAB，
即可得出△PAC与△ABC的面积之比．

解答 解：如图所示，
分别延长 PA、PB 至A₁、B₁，使PA₁=3PA，PB₁=3PB，
则由$3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$
得$\overrightarrow{{PA}_{1}}$+$\overrightarrow{{PB}_{1}}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
故点P是三角形 A₁B₁C的重心，
设△A₁B₁C的面积为 3S，则
${S}_{{△A}_{1}PC}$=${S}_{{△B}_{1}PC}$=${S}_{{{△A}_{1}B}_{1}P}$=S，
S_△PAC=$\frac{1}{3}$${S}_{△{PA}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S，
S_△PBC=$\frac{1}{3}$${S}_{△{PB}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S，
S_△PAB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$${S}_{△{{PA}_{1}B}_{1}}$=$\frac{1}{9}$S，
所以△PAC与△ABC的面积之比为
$\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{3}S}{\frac{1}{3}S+\frac{1}{3}S+\frac{1}{9}S}$=$\frac{3}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的几何意义，作辅助线得出点P是三角形 A₁B₁ C的重心是解题的关键，属综合性题目．