Question

2．已知a＞0，a≠1且log_a3＜log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）若1≤x≤3，求函数y=（log_ax）²+log_a$\sqrt{x}$-2的值域．

Answer 1

分析 （1）由log_a3＜log_a2，可得a＜1，再根据log_aa-log_a3a=1，求得a的值．
（2）先求得-1≤${log}_{\frac{1}{3}}$x≤0，利用二次函数的性质求得它的值域．

解答 解：（1）∵log_a3＜log_a2，∴0＜a＜1；
又∵y=log_ax在[a，3a]上为减函数，
∴log_aa-log_a3a=1，
即log_a$\frac{1}{3}$=1，∴a=$\frac{1}{3}$．
（2）∵1≤x≤3，
∴-1≤${log}_{\frac{1}{3}}$x≤0，
∴y=（log_ax）²+log_a$\sqrt{x}$-2=${{（log}_{\frac{1}{3}}x）}^{2}$+$\frac{1}{2}$${log}_{\frac{1}{3}}$x-2，
令${log_{\frac{1}{3}}}x=t$，则t∈[-1，0]，
故y=t²+$\frac{1}{2}$t-2=${（t+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{33}{16}$，
其值域为[-$\frac{33}{16}$，-$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查对数函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，属于中档题．