题目内容
已知函数f（x）=
是奇函数，且f（2）=
．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并用定义加以证明．
| ax2+2 |
| 3x+b |
| 5 |
| 3 |
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并用定义加以证明．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性．
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性．
解答：
解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴
=-
，
因此b=-b，
即b=0．
又f（2）=
，
∴
=
，∴a=2；
（2）由（1）知f（x）=
=
+
，f（x）在（-∞，-1]上为增函数，
证明：设x1＜x2≤-1，则f（x1）-f（x2）=
（x1-x2）（1-
）=
（x1-x2）•
．
∵x1＜x2≤-1，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1．
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（-∞，-1]上为增函数．
∴
| ax2+2 |
| -3x+b |
| ax2+2 |
| 3x+b |
因此b=-b，
即b=0．
又f（2）=
| 5 |
| 3 |
∴
| 4a+2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
（2）由（1）知f（x）=
| 2x2+2 |
| 3x |
| 2x |
| 3 |
| 2 |
| 3x |
证明：设x1＜x2≤-1，则f（x1）-f（x2）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x1x2 |
| 2 |
| 3 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵x1＜x2≤-1，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1．
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（-∞，-1]上为增函数．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．
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