Question

已知函数y=b+ax2+2x（a、b是常数且a＞0，a≠1）在区间[-

3

2

，0]上有y_max=3，y_min=

5

2

，（1）试求a和b的值．
（2）又已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1）
①若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；
②若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求y′=（2x+2）ax2+2xlna，所以讨论a＞1和0＜a＜1两种情况，然后对每种情况求y的最大值，最小值：通过导数先找出函数y的极值，再比较两个端点的值，从而得到函数y的最大值和最小值，这样即可建立关于a，b的方程，解方程即得a，b；
（2）①f（x）的定义域为R，即ax²+2x+1＞0的解集为R，所以

a＞0 △＜0

，这样即可求出a的取值范围．根据ax²+2x+1的值域即可求f（x）的值域；
②若f（x）的值域为R，则ax²+2x+1的值域包含（0，+∞），所以a=0时容易判断符合条件；a≠0，则需满足：

a＞0 △≥0

，这样即可求出a的取值范围．对应f（x）的定义域，解出不等式ax²+2x+1＞0即可．

解答： 解：（1）y′=（2x+2）ax2+2xlna；
∴①若a＞1，x∈[-

3

2

，-1)时，y′＜0，x∈（-1，0）时，y′＞0；
∴x=-1时，函数y取得极小值，即最小值b+

1

a

=

5

2

     ①；
y=b+ax2+2x=b+a(x+1)2-1；
显然，(-

3

2

+1)2-1＜(0+1)2-1，又a＞1；
∴x=0时，函数y取得极大值，即最大值b+1=3，b=2，带入①即可求出a=2，符合a＞1；
②由①得：
x=-1时，函数y取得最大值b+

1

a

=3       ①；
x=0时，函数y取得最小值b+1=

5

2

，b=

3

2

，带入①得a=

2

3

，符合0＜a＜1；
所以a=2，b=2，或a=

2

3

，b=

3

2

；
（2）①因为f（x）的定义域为R，所以ax²+2x+1＞0对一切x∈R成立；
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．又因为ax2+2x+1=a(x+

1

a

)2+1-

1

a

≥1-

1

a

；
∴f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

）；
∴实数a的取值范围是（1，+∞），f（x）的值域是[lg(1-

1

a

)，+∞)；
②因为f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域包含（0，+∞）；
当a=0时，u=2x+1的值域为R?（0，+∞）；
当a≠0时，u=ax²+2x+1的值域包含（0，+∞），则

a＞0 △=4-4a≥0

；
解之得0＜a≤1；
∴a的取值范围是[0，1]；
要使函数f（x）有意义，则：ax²+2x+1＞0    ①；
由上面知方程ax²+2x+1=0有两个实根：x1=

-2- 4-4a

2a

，x2=

-2+ 4-4a

2a

；
所以不等式①的解是（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），即函数f（x）的定义域为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）．

点评：考查极值的概念，以及利用导数求函数最值的过程：先求函数f（x）的极值，再比较端点值，对数函数的值域，定义域，及解一元二次不等式．