Question

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若cosB+2cosC•cos(A-

π

3

)=0，求角C；
（Ⅱ）若C为△ABC的最大内角，且2|

CA

|•|

CB

|cos2

C

2

+c2=

25

2

，求△ABC的周长L的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据三角形的角的关系B=π-（A+C），代入化简；cosB+cosA•cosC+

3

cosC•sinA=0，得到：sinC+

3

cosC=0，即tanC=

3

，可求解出角C．
（2）根据题意2|

CA

||

CB

|cos²

C

2

+c²=

25

2

，运用三角公式化简2ab•

1+cocC

2

+c²=

25

2

，得到；ab+abcosC+c²=

25

2

，再利用余弦定理代入可得：ab+

a2+b2-c2

2

+c²=

25

2

，即（a+b）²+c²=25，△ABC的周长L=a+b+c最后利用三角变换，x=a+b=5cosθ，y=c=5sinθ，由a+b＞c＞0得：θ∈(0，

π

4

)得到L=5sinθ+5cosθ，利用三角函数变换公式求解出L的范围问题．

解答： 解：（1）∵cosB+cosA•cosC+

3

cosC•sinA=0，B=π-（A+C），
∴-cosAcosCsinAsinC+cosAcosC+

3

cosCsinA=0
sinC+

3

cosC=0
即tanC=-

3

所以C=

2π

3

（2）∵2|

CA

||

CB

|cos²

C

2

+c²=

25

2

2ab•

1+cocC

2

+c²=

25

2

，
ab+abcosC+c²=

25

2

∴ab+

a2+b2-c2

2

+c²=

25

2

即（a+b）²+c²=25
令x=a+b=5cosθ，y=c=5sinθ，
由a+b＞c＞0得：θ∈(0，

π

4

)
则L=a+b+c=x+y=5cosθ+5sinθ=5

2

sin(θ+

π

4

)，θ+

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)
从而可得：L∈(5，5

2

)．

点评：本题考查了三角形中的问题，运用角的关系，转为三角函数取值求解，是一道典型的三角变换的题目．