Question

17．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求曲线C₁与曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（-1，3），且曲线C₁与曲线C₂交于B，D两点，求|PB|•|PD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的参数方程知：曲线C₁是过点（-1，3）的直线，相加消去参数t可得：曲线C₁的普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）由判断知：P在直线C₁上，将$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入曲线C₂的方程得：${t^2}+4\sqrt{2}t+6=0$，利用|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程知：曲线C₁是过点（-1，3）的直线，
相加消去参数t可得：曲线C₁的普通方程为x+y-2=0．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
展开可得ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），
利用互化公式可得：曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0．
（Ⅱ）由判断知：P在直线C₁上，
将$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程x²+y²-2x-2y=0得：${t^2}+4\sqrt{2}t+6=0$，
设点B，D对应的参数分别为t₁，t₂，
则|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|，而t₁t₂=6，
∴|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程的应用、直线与相交相交转化为一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．