Question

6．设f（x）是一元二次函数g（x）=2^x•f（x），且g（x+1）-g（x）=2^x+1•x²，求f（x）与g（x）．

Answer 1

分析 设f（x）=ax²+bx+c，可得g（x）的解析式，求出g（x+1），运用恒等式可得对应项系数相等，解方程可得a，b，c，进而得到所求f（x），g（x）的解析式．

解答 解：设f（x）=ax²+bx+c，
则g（x）=2^x•（ax²+bx+c），
g（x+1）-g（x）=2^x+1•x²，
即为2^x+1•[a（x+1）²+b（x+1）+c]-2^x•（ax²+bx+c）=2^x+1•x²，
展开可得ax²+（4a+b）x+（2a+2b+c）=2x²，
可得a=2，4a+b=0，2a+2b+c=0，
解得a=2，b=-8，c=12．
则f（x）=2x²-8x+12，
g（x）=2^x•（2x²-8x+12）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．