Question

5．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求CM与平面CDE所成的角的正弦值；
（3）求二面角M-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，利用向量法能证明EM⊥CM．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出CM与平面CDE所成的角的正弦值．
（3）求出平面CDE的法向量和平面EMC的法向量，利用向量法能求出二面角M-CE-D的余弦值．

解答 证明：（1）如图，以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，
设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a），D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
$\overrightarrow{EM}$=（-a，a，-a），$\overrightarrow{CM}$=（a，a，0），
∴$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{CM}$=0，∴EM⊥CM．
解：（2）C（0，0，0），M（a，a，0），E（2a，0，a），D（0，2a，2a），
$\overrightarrow{CM}$=（a，a，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，2a，2a），$\overrightarrow{CE}$=（2a，0，a），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2ay+2az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2ax+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
设向量CM与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{3a}{\sqrt{2}a•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴CM与平面CDE所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
设平面EMC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{EM}$（-a，a，-a），$\overrightarrow{CM}$=（a，a，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=-a{x}_{1}+a{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=a{x}_{1}+a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$取x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-2），
设二面角M-CE-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角M-CE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．