Question

12．已知函数f（x）=|x+m|+|x-3|，g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$．
（1）m＞-3时，若不等式f（x）≥8的解集为（-∞，-3]∪[5，+∞），求实数m的值：
（2）若存在实数x₀，使得g（x₀）＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得当x=-3时，f（x）=8，且x=5时，f（x）=8，从而求得实数m的值．
（2）由题意可得，函数g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）在[-2，6]上有解，利用两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质求得g（x）的最大值为8，可得8＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1），由此求得t的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x+m|+|x-3|，
当m＞-3时，不等式f（x）≥8的解集为（-∞，-3]∪[5，+∞），
∴当x=-3时，f（x）=8，且x=5时，f（x）=8，
即|-3+m|+6=8，且|5+m|+2=8，∴m=1．
（2）∵g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$的定义域为[-2，6]，
存在实数x₀，使得g（x₀）＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）成立，
则g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1）在[-2，6]上有解．
∵g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$=（$\sqrt{x+2}$，$\sqrt{6-x}$）•（$\sqrt{7}$，1）
≤$\sqrt{x+2+（6-x）}$•$\sqrt{7+1}$=8，
当且仅当$\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{6-x}}{1}$时，即 x=5时，等号成立，
故g（x）=$\sqrt{7x+14}$$+\sqrt{6-x}$的最大值为8，
∴8＞log${\;}_{\sqrt{2}}$（3t+1），∴0＜3t+1＜${（\sqrt{2}）}^{8}$=16，
∴-$\frac{1}{3}$＜t＜5．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，属于中档题．