Question

7．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；
（3）讨论函数g（x）=f′（x）-x的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为a≤x²+x在（1，4）恒成立；
（3）问题转化为讨论a=-x³+x²+x的交点个数，令m（x）=-x³+x²+x，（x＞0），根据函数的单调性恒成m（x）的大致图象，结合图象，通过讨论a的范围求出函数的零点即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+lnx，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，f′（1）=1，f（1）=2，
故切线方程是：y-2=x-1，
整理得：x-y+1=0；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若f（x）在区间（1，4）内单调递增，
则x²+x-a≥0在（1，4）恒成立，
即a≤x²+x在（1，4）恒成立，
而y=x²+x的最小值是2，
故a≤2；
（3）g（x）=f′（x）-x=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-x=$\frac{{-x}^{3}{+x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令h（x）=-x³+x²+x-a，（x＞0），
讨论函数g（x）=f′（x）-x的零点个数，
即讨论h（x）=-x³+x²+x-a，（x＞0）的零点个数，
即讨论a=-x³+x²+x的交点个数，
令m（x）=-x³+x²+x，（x＞0），
m′（x）=-3x²+2x+1=-（3x+1）（x-1），
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1，
∴m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴m（x）_max=m（1）=1，x→0时，m（x）→0，
x→+∞时，m（x）→-∞，
如图示：
，
结合图象：a＞1时，g（x）无零点，
a=1或a≤0时，g（x）1个零点，
0＜a＜1时，g（x）2个零点．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．