Question

12．过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的左焦点F₁作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F₂是双曲线的右焦点，则△PF₂Q的周长是20．

Answer 1

分析 △PF₂Q的周长=|PF₂|+|QF₂|+|PQ|，由双曲线的性质能够推出|PF₂|+|QF₂|=12，从而推导出△PF₂Q的周长．

解答 解：
∵|PF₁|+|QF₁|=|PQ|=8
∵双曲线x²-$\frac{y^2}{4}$=1的通径为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2×{2}^{2}}{1}$=8
∵PQ=8
∴PQ是双曲线的通径
∴PQ⊥F₁F₂，且PF₁=QF₁=$\frac{1}{2}$PQ=4
∵由题意，|PF₂|-|PF₁|=2，|QF₂|-|QF₁|=2
∴|PF₂|+|QF₂|=|PF₁|+|QF₁|+4=4+4+4=12
∴△PF₂Q的周长=|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=12+8=20，
故答案为20．

点评 本题考查双曲线的定义，解题时要注意审题．属于基础题．