Question

4．已知圆C：x²+y²=4．
（1）求过定点M（4，0）的圆的切线方程；
（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若$|{AB}|=2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设切线方程在为y=k（x-4），利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即可求解切线方程．
（2）当直线l垂直于x轴时，直线方程为x=1，判断是否满足题意；当直线l不垂直于x轴，设其直线方程为y-2=k（x-1），设圆心到此直线距离为d，求出d=1，利用圆心到直线的距离求出k，即可求出直线方程．

解答 解：（1）设切线方程在为y=k（x-4），即kx-y-4k=0．…（1分）
由题意可得$\frac{{|{-4k}|}}{{\sqrt{1+4k}}}=2⇒k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（3分）
∴切线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-4}）$．…（4分）
（2）当直线l垂直于x轴时，直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为$（{1，\sqrt{3}}）$和$（{1，-\sqrt{3}}）$，
其距离为$2\sqrt{3}$，满足题意．…（6分）．．
当直线l不垂直于x轴，设其直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，设圆心到此直线距离为d，则$2\sqrt{3}=2\sqrt{4-{d^2}}$，得d=1，又$d=\frac{{|{-k+2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$．…（9分）
∴解得$k=\frac{3}{4}$，所求直线方程为3x-4y+5=0．…（10分）
综上所述，所求所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．