Question

16．已知椭圆E的中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，其右焦点为F（1，0），点A（0，1）在椭圆上，过点A作两条直线，与椭圆E分别交于M，N两点，直线AM，AN的斜率乘积为-1．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线MN过定点，并求定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆标准方程，由c=1，b=1，则a²=b²+c²=2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用直线的斜率公式，设出设直线MN：y=kx+t，代入椭圆方程，用韦达定理，结合M，N在直线上，满足直线方程，化简整理，可得t的方程，解方程可得t，即可证得直线MN恒过定点．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可知：c=1，b=1，则a²=b²+c²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由A（0，1）直线AM与AN的斜率之积为-1，
可得$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，
即有-x₁x₂=y₁y₂-（y₁+y₂）+1，
由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：y=kx+t，
代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
可得x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+kt（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）+t²=$\frac{{t}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-（$\frac{2t}{1+2{k}^{2}}$）+1，3t²-2t-1=0，解得：t=1（舍去），或t=-$\frac{1}{3}$，
则直线MN的方程为y=kx-$\frac{1}{3}$，
即直线MN恒过定点，该定点坐标为（0，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．