Question

【题目】在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

过作与垂直的平面，交于，过作的垂线，垂足为，则，进而可分析出当取最大值时，三棱锥的体积取最大值，又由，可得B，C都在以A，D为焦点的椭圆上，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出的最大值即可得结果．

过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，

如图所示：

，，则三棱锥的体积为

，

故EF取最大值时，三棱锥的体积也取最大值．

由，

可得B，C都在以A，D为焦点的椭圆上，

因为平面BCE与线AD垂直，

所以三角形ADB与三角形ADC全等，即三角形BCE为等腰三角形，

又为定值，所以BE取最大值时，三棱锥的体积也取最大值．

在中，动点B到A，D两点的距离和为10，

B在以AD为焦点的椭圆上（长轴、焦距分别为、），

此时，，

故BE的最大值为，

此时，

故三棱锥的体积的最大值是．

故答案为：