题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,为平行四边形,,平面,且,点是的中点.
(1)求证:平面;
(2)在线段上(不含端点)是否存在一点,使得二面角的余弦值为?若存在,确定的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)存在,
【解析】
(1)连接交于点,由三角形中位线性质知,由线面平行判定定理证得结论;
(2)以为原点建立空间直角坐标系,假设,可用表示出点坐标;根据二面角的向量求法可根据二面角的余弦值构造出关于的方程,从而解得结果.
(1)连接交于点,连接,
四边形为平行四边形,为中点,又为中点,,
平面,平面,平面;
(2)平面,,两两互相垂直,
则以为坐标原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:
则,,,,,,
设,且,
则,,即,
设平面的法向量,又,,
则,令,则,,;
设平面的一个法向量,又,,
则,令,则,,;
,解得:或,
二面角的余弦值为,二面角为锐二面角,
不满足题意,舍去,即.
在线段上存在点,时,二面角的余弦值为.
【题目】2019年末,武汉出现新型冠状病毒(肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,目前没有特异治疗方法.防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,某社区将本社区的排查工作人员分为,两个小组,排查工作期间社区随机抽取了100户已排查户,进行了对排查工作态度是否满意的电话调查,根据调查结果统计后,得到如下的列联表.
是否满意 组别 | 不满意 | 满意 | 合计 |
组 | 16 | 34 | 50 |
组 | 2 | 45 | 50 |
合计 | 21 | 79 | 100 |
(1)分别估计社区居民对组、组两个排查组的工作态度满意的概率;
(2)根据列联表的数据,能否有的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关?
附表:
附: