题目内容

【题目】如图,已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的一个焦点为 是椭圆上的一个点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设椭圆的上、下顶点分别为 )是椭圆上异于的任意一点, 轴, 为垂足, 为线段中点,直线交直线于点, 为线段的中点,如果的面积为,求的值.

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)设椭圆方程为,由题意,得,再由是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;

(2)根据题意,求出直线AB的方程、点M,C,N的坐标,计算,可得,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.

试题解析:(1)设椭圆方程为,由题意,得. 因为,所以.又是椭圆上的一个点,所以,解得(舍去),从而椭圆的标准方程为

(2)因为 ,则,且.因为为线段中点, 所以.又,所以直线的方程为.因为,得. 又 为线段的中点,有

所以

因此,

=.从而

因为

所以在中, ,因此.从而有,解得

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算.

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