题目内容
已知递增数列{an}满足2an+1=an+an+2（n∈N*）且a1+a2+a3=18，a1a2a3=192．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=man（m为常数，m＞0且m≠1），求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）在（2）的条件下，若cn=bn•lgbn且{cn}的每一项都小于它的后一项，求实数m的取值范围．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=man（m为常数，m＞0且m≠1），求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）在（2）的条件下，若cn=bn•lgbn且{cn}的每一项都小于它的后一项，求实数m的取值范围．
考点：数列与不等式的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知得
，解得a1=4，a3=8，由此能求出an=2n+2．
（2）由bn=m2n+2，能求出数列{bn}的前n项和Tn．
（3）由已知当n≥1时，（2n+2）lgm＜m2（2n+4）lgm，由此能求出实数m的取值范围．
|
（2）由bn=m2n+2，能求出数列{bn}的前n项和Tn．
（3）由已知当n≥1时，（2n+2）lgm＜m2（2n+4）lgm，由此能求出实数m的取值范围．
解答：
解：（1）由已知为等差数列，a1+a2+a3=18，
得a2=6，又a1a2a3=192，
∴
，又d＞0，解得a1=4，a3=8
∴an=2n+2
（2）∵bn=man（m为常数，m＞0且m≠1），
∴bn=m2n+2，
∴Tn=
（3）由已知当n≥1时，cn＜cn+1，
即（2n+2）lgm＜m2（2n+4）lgm
当m＞1时，m2＞
恒成立，即m＞1
当0＜m＜1，m2＜
，即0＜m＜
综上所述，0＜m＜
或m＞1．
得a2=6，又a1a2a3=192，
∴
|
∴an=2n+2
（2）∵bn=man（m为常数，m＞0且m≠1），
∴bn=m2n+2，
∴Tn=
| m4(1-m2n) |
| 1-m2 |
（3）由已知当n≥1时，cn＜cn+1，
即（2n+2）lgm＜m2（2n+4）lgm
当m＞1时，m2＞
| n+1 |
| n+2 |
当0＜m＜1，m2＜
| n+1 |
| n+2 |
| ||
| 3 |
综上所述，0＜m＜
| ||
| 3 |
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
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| A、若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥α |
| B、若l∥m，m?α，则l∥α |
| C、若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥β |
| D、若α⊥β，l⊥α，则l∥β |