Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），数列{b_n}满足b_n=a_n•a_n+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）证明：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+12恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

an

-

1

an-1

=3，n≥2，

1

a1

=1，由此能证明数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）得a_n=

1

3n-2

，从而b_n=a_n•a_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），由此利用裂项求和法推导出λ＜3n+

12

n

+37，由此能求出实数λ的取值范围．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
∴

1

an

-

1

an-1

=3，n≥2，
又

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）解：由（1）得

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2．
∴a_n=

1

3n-2

，
∵b_n=a_n•a_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴T_n=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

）=

1

3

（1-

1

3n+1

），
∵λT_n＜n+12恒成立，
∴λ＜3n+

12

n

+37≤49（当且仅当n=2时取“=”），
解得λ＜49．

点评：本题考查等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．