Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，则$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$取得最大值时，角A的值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面积计算公式可得$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²=$\frac{1}{2}$bcsinA即a²=2$\sqrt{3}$bcsinA，利用余弦定理及已知可得$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4，从而可解得A的值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴a²=2$\sqrt{3}$bcsinA．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴b²+c²=a²+2bccosA=2$\sqrt{3}$bcsinA+2bccosA
∴$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA=4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4，
∴$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$的最大值是4时有A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴可解得：A=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．