Question

13．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，则z=3x+y的最大值与最小值之差为7．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$，解得A（2，3），$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$
可得B（0，2）
化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，
由图可知，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为9．
当直线y=-3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为2．
则z=3x+y的最大值与最小值之差为：7．
故答案为：7．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．