Question

【题目】过直线y＝﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y＝x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点.

（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.

（2）求证：直线PQ过定点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）设过A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1k2为定值；

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1＝0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1＝0，该线过定点（0，1）故证得.

（1）设过A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，

则切线的方程为y+1＝k（x﹣a），

与方程y＝x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1＝0.

因为直线与抛物线相切，所以△＝k2﹣4（ak+1）＝0，

即k2﹣4ak﹣4＝0.由题意知，此方程两根为k1，k2，

∴k1k2＝﹣4（定值）；

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y＝x2，得y′＝2x.

所以在P点处的切线斜率为：，

因此，切线方程为：y﹣y1＝2x1（x﹣x1）.

由y1＝x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1＝0.

同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2＝0.

因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1＝0，2x2a﹣y2+1＝0.

∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1＝0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1＝0.

当x＝0时，y＝1，所以直线PQ经过定点（0，1）.