Question

6．已知函数f（x）=x³-3a²x+2a²+1（a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-2，3）内极值点的个数；
（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1-a²|≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可；
（Ⅲ）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，结合x的范围证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3（x-a）（x+a），（a≥0），
a=0时，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在R递增，无递减区间；
a＞0时，x∈（-∞，-a），（a，+∞）时，f′（x）＞0，
x∈（-a，a）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-a）递增，在（-a，a）递减，在（a，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ），a=0时，f（x）在R递增，函数无极值点，
a＞0时，由（Ⅰ）得：x=-a是极大值点，x=a是极小值点，
当$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-a＜3}\\{-2＜a＜3}\\{a＞0}\end{array}\right.$即0＜a＜2时，f（x）在（-2，3）内有2个极值点，
当$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-a＜3}\\{a≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-a≤-2}\\{-2＜a＜3}\end{array}\right.$即2≤a＜3时，
f（x）在（-2，3）内有1个极值点，
a≥3时，x=a和x=-a均不在区间（-2，3）内，此时f（x）无极值点，
综上，a=0或a≥3时，f（x）在（-2，3）无极值点，
2≤a＜3时，f（x）在（-2，3）内有1个极值点，
0＜a＜2时，f（x）在（-2，3）内有2个极值点；
（Ⅲ）证明，a=0时，∵0≤x≤1，
∴f（x）+|1-a²|=x³+2＞1，
0＜a＜1时，由（Ⅰ）（Ⅱ）得，
f（x）在（-a，a）递减，在（a，1）递增，且x=a是极小值点，
故0≤x≤1时，f（x）+|1-a²|≥f（a）+|1-a²|=-2a³+a²+2=（1-a³）+（a²-a³）+1＞1，
a≥1时，由（Ⅱ）得，f（x）在（-a，a）递减，
故0≤x≤1时，f（x）+|1-a²|≥f（1）+|1-a²|=1，
综上，0≤x≤1时，f（x）+|1-a²|≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．