Question

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a²=（b+c）²-4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则A等于（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 150°
• D． 120°

Answer 1

分析 先根据余弦定理以及三角的面积公式可得sinA=$\sqrt{3}$（cosA+1），再根据cos²A+sin²A=1，即可求出答案

解答 解：∵a²=（b+c）²-4=b²+c²+2bc-4，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4-2bc}{2bc}$=$\frac{2}{bc}$-1
∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，
∴bc=$\frac{2\sqrt{3}}{sinA}$，
∴cosA=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{3}}{sinA}}$-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA-1，
∴sinA=$\sqrt{3}$（cosA+1）
∵cos²A+sin²A=1，
∴3（cosA+1）²+cos²A=1，
∴4cos²A+6cosA+2=0
（2cosA+1）（cosA+1）=0，
∵cosA+1≠0
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴A=120°，
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的化简和余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题