题目内容
4．已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：①对任意实数x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2．
②对任意x1，x2∈（1，+∞）上，总有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
则方程ax2+bx+1=0根的情况是（ ）
| A． | 无实数根 | B． | 有两个不等正根 | C． | 有两个异号实根 | D． | 有两个相等正根 |
分析 由①可得二次函数的对称轴，由②可得，x＞1时，f（x）递减，求得a＜0，b＞0，求得判别式大于0，运用韦达定理，即可得到结论．
解答 解：由①可得，对称轴为x=1，
即有b=-2a；
由②可得，x＞1时，函数f（x）的图象上凸，函数递减．
即有a＜0，b＞0，判别式△=b2-4a=4a（a-1）＞0，
设两根为x1，x2，即有x1+x2=-$\frac{b}{a}$＞0，x1x2=$\frac{1}{a}$＜0，
则方程ax2+bx+1=0根的情况是有两个异号的实根．
故选：C．
点评 本题考查二次函数的对称性和单调性的运用，考查二次方程韦达定理的运用，属于中档题．
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| A． | $\frac{2}{n+2i}$ | B． | $\frac{2}{n+2i-2}$ | C． | $\frac{2}{n（n+2i）}$ | D． | $\frac{1}{n+2i}$ |
