Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（α-β）=$\frac{1}{7}$，cos2α=-$\frac{11}{14}$，求证：α+β=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由角的范围及同角三角函数基本关系式可求sin（α-β），sin2α的值，利用两角和的余弦函数公式可求cos（α+β）=$\frac{1}{2}$，结合范围-$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{π}{2}$，即可得解α+β=$\frac{π}{3}$，从而得证．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，
∴0＜2α＜π，0＜α-β＜π，可得：sin2α＞0，sin（α-β）＞0，
∵cos（α-β）=$\frac{1}{7}$，cos2α=-$\frac{11}{14}$，
∴sin（α-β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin2α=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cos（α+β）=cos[2α-（α-β）]=cos2αcos（α-β）+sin2αsin（α-β）=（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
∴α+β=$\frac{π}{3}$．
得证．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式以及正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．