Question

16．已知函数f（x）的定义域为R，若对于任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）为奇函数，根据对于任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），分别令x=y=0，x=-y，可证得结论；
（Ⅱ）f（x）为单调递增函数，根据增函数的定义，可证得结论；
（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0恒成立．进而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）为奇函数，理由如下：
由题意知：f（x+y）=x+y，令x=y=0，得f（0）=0
设x=-y，得f（0）=f（x）+f（-x）
所以f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数．-----------------------（4分）
（Ⅱ）f（x）为单调递增函数，理由如下：
由题意知f（x）是定义在R上的奇函数，设x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
当x＞0时，有f（x）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上为单调递增函数．--------------（8分）
（Ⅲ）由（2）知f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，
所以f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）＜m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0恒成立．
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，则$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（1）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}2m+{m^2}＞0\\-2m+{m^2}＞0\end{array}\right.$，解得m＞2或m＜-2．
故实数m的取值范围是m＞2或m＜-2．--------------（12分）

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，函数恒成立问题，难度中档．