Question

18．设$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，数列{a_n}满足${a_1}=\frac{a}{a+2}$（a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，数列{a_n}满足${a_1}=\frac{a}{a+2}$（a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
可得${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，进而得出a₂，a₃，a₄．猜想a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$．
（2）利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，数列{a_n}满足${a_1}=\frac{a}{a+2}$（a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，∴a₂=$\frac{a}{3a+4}$，a₃=$\frac{a}{7a+8}$，a₄=$\frac{a}{15a+16}$．
猜想a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$．
（2）利用数学归纳法证明：a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$．
①当n=1时，由（1）可知成立．
②假设n=k∈N^*时成立，即a_k=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{k}-a}$．
则a_k+1=$\frac{\frac{a}{（a+1）•{2}^{k}-a}}{\frac{a}{（a+1）•{2}^{k}-a}-a}$=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{k+1}-a}$，因此n=k+1时也成立，
综上可得：a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$对于n∈N^*都成立．

点评 本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．