Question

试用数学归纳法证明：对任意正整数n，都有1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）²．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．

解答： （本题8分）
证明：①当n=1时，左边=1³=1，右边=1²=1，等式成立．
②假设当n=k（k∈N^*，k≥1）时，等式成立，即1³+2³+…+k³=（1+2+…+k）²，
则当n=k+1时，
（1+2+…+k+（k+1））²=（1+2+…+k）²+2（k+1）（1+2+…+k）+（k+1）²
=13+23+…+k3+(k+1)(2•

1+k

2

•k+k+1)
=1³+2³+…+k³+（k+1）³，
这就是说n=k+1时等式也成立．
从而①②可知对任意正整数n，都有1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）²均成立．

点评：考查数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，特别是②是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属中档题．