Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为8的正三角形，SA=SC=2

7

，二面角S-AC-B为60°
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求三棱锥S-ABC的体积；
（3）求二面角S-BC-A的正切值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AC的中点D，连接SD，BD，证明SD⊥AC，BD⊥AC，说明AC⊥面SBD，即可证明AC⊥SB．
（2）过S作SO⊥BD于O，说明∠SDB为二面角S-AC-B平面角，求出SO，然后求出几何体的体积．
（3）过O作OH⊥BC于H，连SH，则SH⊥BC，所以∠SHO为二面角S-BC-A的平面角，分别在三角形中求相应线段的长，从而可解．

解答： 解（1）取AC的中点D，连接SD，BD，
∵SA=SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC，∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD，
又SB?面SBD，∴AC⊥SB；
（2）过S作SO⊥BD于O，∵AC⊥面SBD，
又AC?平面ABC∴平面SBD⊥平面ABC，
又SO⊥BD∴SO⊥平面ABC，
在Rt△SAD中，SA=2

7

，AD=

1

2

AC=4
∴SD=

28-16

=2

3

∵SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为二面角S-AC-B平面角，∴∠SDB=60°，
在Rt△SDO中，SOSO=SDsin∠SDO=2

3

×

3

2

=3，
∴V_S-ABC=

1

3

S_△ABC•SO=

1

3

•

3

4

•64•3=16

3

；
（3）过O作OH⊥BC于H，连SH，则SH⊥BC∴∠SHO为二面角S-BC-A的平面角  
∵正△ABC是边长为8，∴BD=4

3

，∵OD=

SD2-SO2

=

3

，∴OB=3

3

，
在Rt△OHB中，OH=OBsin30°=

1

2

OB=

3 3

2

，在Rt△SOH中，tan∠SHO=

SO

OH

=

3

3 3 2

=

2 3

3

．
即二面角S-BC-A的正切值为

2 3

3

．

点评：本题是中档题，考查空间几何体的直线与直线的位置关系，几何体的体积的求法，空间的二面角的平面角，考查空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．