Question

我们把一系列向量

ai

（i=1，2，…，n…）排成一列，称为向量列，记作{

an

}，又设

an

=（x_n，y_n），假设向量列{

an

}满足：

a1

=（

2

，

2

），

an

=

1

2 2

（

3

x_n-1-y_n-1，x_n-1+

3

y_n-1）（n≥2）．
（1）证明数列{|

an

|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量

an

，

an+1

（n∈N^*）间的夹角，若b_n=sin2nθ_n，记{b_n}的前n项和为S_n，求S_3m；
（3）设f（x）是R上不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，都有f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，u_n=

f( | an |2 8 )

n

（n∈N^*），求数列{u_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出|

an

|=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|

an-1

|，由此能证明数列{|

an

|}是等比数列．
（2）由已知条件求出cosθ_n=

an+1 • an

| an+1 |•| an |

=

3 2 2 ( x 2 n + y 2 n )

2 2 ( x 2 n + y 2 n )

=

3

2

，所以bn=sin

nπ

3

，由此得到当m=2k时，S_3m=0；当m=2k+1时，S3m=

3

．
（3）由已知条件推导出g（aⁿ）=ng（a），f（aⁿ）=aⁿ•g（aⁿ）=naⁿg（a）=na^n-1f（a），由此能求出数列{u_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：|

an

|=

1

2 2

( 3 xn-1-yn-1)2+(xn-1+ 3 yn-1)2

=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|

an-1

|，
∴数列{|

an

|}是等比数列．
（2）解：∵cosθ_n=

an+1 • an

| an+1 |•| an |

=

(xn，yn)• 1 2 2 ( 3 xn-yn，xn+ 3 yn)

2 2 | an |2

=

3 2 2 ( x 2 n + y 2 n )

2 2 ( x 2 n + y 2 n )

=

3

2

∴θn=

π

6

，∴bn=sin

nπ

3

，
∴当m=2k时，S_3m=0；当m=2k+1时，S3m=

3

；
（3）解：令a=b=1，得f（1）=0，
令a=2，b=

1

2

，得f(1)=

1

2

f(2)+2f(

1

2

)，∴f(

1

2

)=-

1

2

当ab≠0时，

f(a•b)

ab

=

f(b)

b

+

f(a)

a

，
令g(x)=

f(x)

x

，则g（a•b）=g（a）+g（b），
故g（aⁿ）=ng（a），
∴f（aⁿ）=aⁿ•g（aⁿ）=naⁿg（a）=na^n-1f（a），
∴un=

f(2-n)

n

=(

1

2

)n-1•f(

1

2

)=(-

1

2

)•(

1

2

)n-1，
∴Tn=

- 1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=(

1

2

)n-1(n∈N*)．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．