题目内容
已知椭圆C
+
=1的离心率为
，椭圆上一点M到椭圆两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线l倾斜角为
且过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|（3）若直线l过点D（-1，0）且与椭圆相交于AB两点，O为坐标原点，若AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，求直线l方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线l倾斜角为
| π |
| 4 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）椭圆
+
=1（a＞b＞0）根据a2=b2+c2，
=
，2a=4，求解．
（2）过点F且倾斜角为
的直线方程为y=x-
，与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求|AB|的值．
（3）设直线l的方程为：x+1=my，与椭圆方程联立，根据AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，即OA⊥OB，求出m值，即可得到直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
（2）过点F且倾斜角为
| π |
| 4 |
| 3 |
（3）设直线l的方程为：x+1=my，与椭圆方程联立，根据AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，即OA⊥OB，求出m值，即可得到直线l的方程．
解答：
解：（1）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
=
，
椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，
∴a=2，c=
，b=1，
∴椭圆的标准方程：
+y2=1，
（2）过点F且倾斜角为
的直线方程为y=x-
．
由
得5x2-8
x+8=0，
解得x1=
，x2=
，
故|AB|=
|x1-x2|=
．
（3）∵直线l过点D（-1，0），
∴设直线l的方程为：x+1=my，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
得：（m2+4）y2-2my-3=0，
则y1+y2=
，y1•y2=
，
则x1•x2=m2y1•y2-m（y1+y2）+1=
，
∵AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，
故OA⊥OB，
即
•
=x1•x2+y1•y2=
=0，
解得：m=±
，
故直线l方程的方程为：x+1=
y，或x+1=-
y，
即2x-y+2=0，或2x+y+2=0
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，
∴a=2，c=
| 3 |
∴椭圆的标准方程：
| x2 |
| 4 |
（2）过点F且倾斜角为
| π |
| 4 |
| 3 |
由
|
| 3 |
解得x1=
4
| ||||
| 5 |
4
| ||||
| 5 |
故|AB|=
| 2 |
| 8 |
| 5 |
（3）∵直线l过点D（-1，0），
∴设直线l的方程为：x+1=my，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
则y1+y2=
| 2m |
| m2+4 |
| -3 |
| m2+4 |
则x1•x2=m2y1•y2-m（y1+y2）+1=
| -4m2+4 |
| m2+4 |
∵AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，
故OA⊥OB，
即
| OA |
| OB |
| -4m2+4-3 |
| m2+4 |
解得：m=±
| 1 |
| 2 |
故直线l方程的方程为：x+1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即2x-y+2=0，或2x+y+2=0
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，直线与圆锥曲线的关系，弦长公式，向量垂直的充要条件，是直线，圆锥曲线，向量的综合应用，难度较大，属于难题．
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