Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a（a＞0），前n项和为S_n，且a_n=

2Sn

n+1

，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（2）记A_n=a₁+a₂+a_2²+…+a_2^n-1，Bn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．求不等式A_n+a²•B_n＜513a成立的最大正整数n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2S_n=（n+1）a_n，从而

an

an-1

=

n

n-1

，由此利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式a_n及S_n．
（2）利用等比数列前n项和公式求出A_n=（2ⁿ-1）a，由

1

Sn

=

2

n(n+1)a

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法求出Bn=

2

a

（1-

1

n+1

），由此能求出不等式A_n+a²•B_n＜513a成立的最大正整数n为9．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的首项a₁=a（a＞0），且a_n=

2Sn

n+1

，
∴2S_n=（n+1）a_n，①
2S_n-1=na_n-1，②
①-②，得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

，
∴an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=a×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=na，
∴{a_n}是首项和公差均为a的等差数列，
∴S_n=

n

2

(a1+an)=

n

2

(a+na)=

n(n+1)

2

a．
（2）A_n=a₁+a₂+a_2²+…+a_2^n-1
=a+2a+4a+…+2^n-1a
=

a(1-2n)

1-2

=（2ⁿ-1）a，
∵

1

Sn

=

2

n(n+1)a

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Bn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2

a

（1-

1

n+1

），
∵A_n+a²•B_n＜513a，
∴a（2ⁿ-1）+2a（1-

1

n+1

）＜513a，
∵a＞0，∴2n-

2

n+1

＜512=2⁹
∵2⁹-

2

9+1

＜512，2¹⁰-

2

10+1

＞512，
∴不等式A_n+a²•B_n＜513a成立的最大正整数n为9．

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查使得不等式成立的最大整数的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．