Question

已知正项等比数列{a_n}，满足a₄=2a₃+3a₂，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=9a1，则

4

m

+

1

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用等比数列的通项公式及其指数运算性质可得m+n=6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，∵a₄=2a₃+3a₂，∴a1q3=2a1q2+3a1q，化为q²-2q-3=0，解得q=3．
∵

aman

=9a1，
∴

a1qm-1•a1qn-1

=9a₁，
∴q^m+n-2=3⁴，即3^m+n-2=4，
∴m+n=6．
∴

4

m

+

1

n

=

1

6

(m+n)(

4

m

+

1

n

)=

1

6

(5+2

4n m • m n

)=

3

2

，当且仅当m=2n=4时取等号．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其指数运算性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．