题目内容
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是
，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
【答案】分析：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为
，结合题意得到事件
的概率，再根据对立事件的概率公式得到答案．
（2）由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，再结合题意分别求出其发生的概率，即可得到X的分布列，进而得到X的数学期望．
解答：解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为
，
∴根据题意可得：
，…（2分）
∴
，…（4分）
∴该学生考上大学的概率为
．
（2）由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，…（5分），
∴
，
，
，
=
． …（8分）
∴X的分布列为：
∴X的数学期望为：
． …（9分）
答：该生考上大学的概率为
；X的数学期望是
． …（10分）
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，以及利用正难则反的解题方法解决问题，本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，此类型的题目是个类型考试的命题热点之一，一般以基础题或者中档题的形式出现，只要读懂题意一般能够得到全分．
，结合题意得到事件
的概率，再根据对立事件的概率公式得到答案．（2）由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，再结合题意分别求出其发生的概率，即可得到X的分布列，进而得到X的数学期望．
解答：解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为
，∴根据题意可得：
，…（2分）∴
，…（4分）∴该学生考上大学的概率为
．（2）由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，…（5分），
∴
，
，
，
=
． …（8分）∴X的分布列为：
| X | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |  |  |  |  |
． …（9分）答：该生考上大学的概率为
；X的数学期望是
． …（10分）点评：解决此类问题的关键是熟练掌握n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，以及利用正难则反的解题方法解决问题，本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，此类型的题目是个类型考试的命题热点之一，一般以基础题或者中档题的形式出现，只要读懂题意一般能够得到全分．
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