题目内容
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是
，每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（1）求该学生考上大学的概率；
（2）如果考上大学或参加完5次考试就结束，求该生至少参加四次考试的概率．
| 1 | 3 |
（1）求该学生考上大学的概率；
（2）如果考上大学或参加完5次考试就结束，求该生至少参加四次考试的概率．
分析：（1）记“该生考上大学”的事件为A，其对立事件为
，直接求P（A）比较困难，于是通过求1-P（
）来得到P（A）的值．
（2）记“该生参加测试的次数”为ξ，求出P（ξ=4）和P（ξ=5）的值，相加即得所求．
. |
| A |
. |
| A |
（2）记“该生参加测试的次数”为ξ，求出P（ξ=4）和P（ξ=5）的值，相加即得所求．
解答：解：（1）记“该生考上大学”的事件为A，其对立事件为
，
则P(
)=
(
)(
)3(
)+(
)4=
，
∴P(A)=1-P(
)=1-
=
．…（6分）
（2）记“该生参加测试的次数”为ξ，则ξ=4说明前3次考试只通过了1次，而第4次通过了，或前4次都没有通过，
故 P(ξ=4)=
(
)(
)2(
)+(
)4=
+
=
，
ξ=5说明前4次考试只通过了1次，，故 P(ξ=5)=
(
)(
)3=
，
∴该生至少参加四次考试的概率P=
+
=
．…（12分）
. |
| A |
则P(
. |
| A |
| C | 1 4 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 112 |
| 243 |
∴P(A)=1-P(
. |
| A |
| 112 |
| 243 |
| 131 |
| 243 |
（2）记“该生参加测试的次数”为ξ，则ξ=4说明前3次考试只通过了1次，而第4次通过了，或前4次都没有通过，
故 P(ξ=4)=
| C | 1 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 16 |
| 81 |
| 28 |
| 81 |
ξ=5说明前4次考试只通过了1次，，故 P(ξ=5)=
| C | 1 4 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 81 |
∴该生至少参加四次考试的概率P=
| 28 |
| 81 |
| 32 |
| 81 |
| 20 |
| 27 |
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
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