Question

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是

1

3

，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

Answer 1

分析：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为

.

A

，结合题意得到事件

.

A

的概率，再根据对立事件的概率公式得到答案．
（2）由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，再结合题意分别求出其发生的概率，即可得到X的分布列，进而得到X的数学期望．

解答：解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为

.

A

，
∴根据题意可得：P(

.

A

)=

C

1 5

(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5，…（2分）
∴P(A)=1-[

C

1 5

•(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5]=

131

243

，…（4分）
∴该学生考上大学的概率为

131

243

．
（2）由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，…（5分），
∴P(X=2)=(

1

3

)2=

1

9

，P(X=3)=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

=

4

27

，P(X=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

，P(X=5)=

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3+(

2

3

)4=

16

27

．    …（8分）
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	1 9	4 27	4 27	16 27

∴X的数学期望为：E(X)=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

27

+5×

16

27

=

38

9

．  …（9分）
答：该生考上大学的概率为

131

243

；X的数学期望是

38

9

． …（10分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，以及利用正难则反的解题方法解决问题，本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，此类型的题目是个类型考试的命题热点之一，一般以基础题或者中档题的形式出现，只要读懂题意一般能够得到全分．