题目内容
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是| 2 | 3 |
（Ⅰ）求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；
（Ⅱ）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束．记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
分析：（Ⅰ）由题意知该学生在前两次测试中至少有一次通过的对立事件是一次也没有通过，根据对立事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（II）该生参加测试次数X的可能取值为2，3，4，结合变量对应的事件利用独立重复试验概率公式写出变量的概率，写出分布列和数学期望．
（II）该生参加测试次数X的可能取值为2，3，4，结合变量对应的事件利用独立重复试验概率公式写出变量的概率，写出分布列和数学期望．
解答：解：（Ⅰ）由题意知该学生在前两次测试中至少有一次通过的对立事件是一次也没有通过，
记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，
根据对立事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
P（A）=1-(1-
)2=
即该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为
．
（Ⅱ）该生参加测试次数X的可能取值为2，3，4，
P(X=2)=(
)2=
，
P(X=3)=
.
.
.
=
，
P(X=4)=
．(
)2+(
)3=
，
∴X的分布列为：
∴E(X)=2×
+3×
+4×
=
记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，
根据对立事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
P（A）=1-(1-
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
即该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为
| 8 |
| 9 |
（Ⅱ）该生参加测试次数X的可能取值为2，3，4，
P(X=2)=(
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
P(X=3)=
| C | 1 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
P(X=4)=
| C | 1 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 27 |
∴X的分布列为：
∴E(X)=2×
| 4 |
| 9 |
| 8 |
| 27 |
| 7 |
| 27 |
| 76 |
| 27 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查独立重复试验概率公式，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个必得分题目．
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