Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，F（x）同时满足以下条件：
①当x=-1时，函数有最小值0；
②?x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2(x-1)

．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数；
（2）根据条件①和二次函数的图象和性质，可得b=2a，c=a，令x=1，结合条件②，可求出a，b，c的值．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
由f（-1）=0，得a-b+c=0，
即b=a+c．
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；
（2）假设a，b，c存在，由①得-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=0
∴b=2a，c=a．
由②知对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

，
令x=1，得0≤f（1）-1≤0，
∴f（1）=1，
∴a+b+c=1，
解得：a=c=

1

4

，b=

1

2

，
当a=c=

1

4

，b=

1

2

时，f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²，其顶点为（-1，0）满足条件①，
又f（x）-x=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x-1）²，对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

，满足条件②．
∴存在a=c=

1

4

，b=

1

2

，使f（x）同时满足条件①、②．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数最值得求法，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．