Question

20．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=AC=CB=2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅱ）求三棱锥V${\;}_{A-{A}_{1}DC}$的体积．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABC得出AA₁⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA₁B₁B；
（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S_△ACD，于是V${\;}_{A-{A}_{1}DC}$=V${\;}_{{A}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•A{A}_{1}$．

解答 证明：（I）∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD．
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
又AB?平面AA₁B₁B，AA₁?平面AA₁B₁B，AB∩AA₁=A，
∴CD⊥平面AA₁B₁B．
（II）∵AB=2$\sqrt{2}$，AC=CB=2，∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC．
∵D是AB的中点，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}$=1．
又AA₁⊥平面ABC，
∴V${\;}_{A-{A}_{1}DC}$=V${\;}_{{A}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．