Question

对于函数f（x），若存在常数T和S（T＞0，S≠0），使当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x）+S成立，则函数f（x）称为“类周期函数”，T叫做“类周期”．设g（x）是定义在R上以1为周期的周期函数h（x）=2x+g（x），则
（1）h（x）是类周期函数，当类周期T=1时，S=

 

；
（2）若当x∈[3，4]时，h（x）的值域为[2，8]，则当x∈[0，1]时，h（x）的值域为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,推理和证明

分析：（1）由g（x）是定义在R上以1为周期的函数，得到g（x+1）=g（x），再求出h（x+1），即可判断；
（2）令0≤x≤1则3≤x+3≤4，由条件，结合h（x+3）=h（x）+6，即可得到h（x）的值域．

解答： 解：（1）∵g（x）是定义在R上以1为周期的函数，
∴g（x+1）=g（x），
∴h（x+1）=g（x+1）+2（x+1）=g（x）+2x+2=h（x）+2，
∴S=2；
（2）∵h（x+1）=h（x）+2，即h（x+2）=h（x+1）+2，即h（x+3）=h（x+2）+2，
∴h（x+3）=h（x）+4，
则h（x-3）=h（x）-3，
令0≤x≤1则3≤x+3≤4，则由h（x）=g（x）+2x在[3，4]上的值域为[2，8]，
得到2≤h（x+3）≤8，
∵h（x+3）=h（x）+6
即2≤h（x）+6≤8即-4≤h（x）≤2，
∴当x∈[0，1]时，h（x）的值域为[-4，2]．
故答案为：（1）2；（2）[-4，2]．

点评：本题主要考查函数的周期性及运用，以及新定义及运用，同时考查函数的值域和图象平移，是一道综合题．