题目内容
7．已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+an2=（ ）| A． | $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$ | B． | $\frac{1}{3}（{4^n}+8）$ | C． | $\frac{1}{3}{（{2^n}-1）^2}$ | D． | $\frac{1}{3}{（{2^n}+4）^2}$ |
分析 数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，an=Sn-Sn-11，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：∵数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），
∴当n=1时，a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}^{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
则n≥2时，a12+a22+…+${a}_{n}^{2}$=4+4×$\frac{{4}^{n-1}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}+8）$．
故选：B．
点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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