Question

12．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）在同一个周期内，当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，求经以上变换后得到的函数解析式g（x）．
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，根据特殊点的坐标求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．
（3）根据正弦函数的周期性以及图象的对称性，求得方程f（x）=a在[0，2π]内的所有实数根之和．

解答 解：（1）∵$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$，∴ω=3，
又因sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=1，∴$\frac{3π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，再结合，|φ|＜$\frac{π}{2}}$，
可得φ=-$\frac{π}{4}$，∴函数 f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位，可得y=sin[3（x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（3x+$\frac{5π}{4}$）的图象；
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
经以上变换后得到的函数解析式g（x）=sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$）．
（3）∵f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的周期为$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）在[0，2π]内恰有3个周期，
∴sin（3x-$\frac{π}{4}$）=a （0＜a＜1）在[0，2π]内有6个实根且x₁+x₂=$\frac{π}{2}$，
同理，x₃+x₄=$\frac{11π}{6}$，x₅+x₆=$\frac{19π}{6}$，
故所有实数之和为 $\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$=$\frac{11π}{2}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．