Question

16．已知f（x）是定义在[-4，+∞）上的增函数，对?x∈R，总有f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，求实数b的取值范围[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可得 cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4 恒成立，即sin²x≥b-1 ①，且cosx-sin²x≥b²-b-3 ②．分别求得①②的解集，再取交集，即得所求．

解答 解：由题意可得 cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4 恒成立，∴sin²x≥b-1 ①，且cosx-sin²x≥b²-b-3 ②．
解①求得b≤sin²x+1≤2．
解②可得${（cosx+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$≥${（b-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{13}{4}$，即 ${（b-\frac{1}{2}）}^{2}$≤${（cosx+\frac{1}{2}）}^{2}$+2≤2，
∴-$\sqrt{2}$≤b-$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{2}$，即 $\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．
再把①②的解集取交集，可得x∈[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．